Log4/3 ( 7x + 1) >log 4/3 ( x - 9 )

10-11 класс

Stup6898 05 июля 2013 г., 8:15:03 (10 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Daniilkus

05 июля 2013 г., 9:31:50 (10 лет назад)

ОДЗ - область допустимых значений, то есть те х при которых выражение имеет смысл.
По определению логарифма:
$log_ab=c\ \ \ \ \ \ \ b>0,a>0,a\neq1$
То есть то что в логарифме должно быть больше нуля, а то что в основании тоже больше нуля, и ещё не равно единице.

ОДЗ: $\left \{ {{7x+1>0} \atop {x-9>0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x>-\frac{1}{7}} \atop {x>9}} \right. \Rightarrow x>9$
x∈(9;+∞) - это и будет наше конечное ОДЗ.

Т.к. слева и справа основания логарифма раны(4/3=4/3) , то чтобы выполнялось неравенство с логарифмами, нужно чтобы выполнялось неравенство того что внутри логарифмов.
Теперь о переходе к линейному неравенству. Когда основание логарифма >1, тогда знак не меняется, т.к. функция возрастающая(к примеру log₂4=2;log₂8=3, значит чем больше то что стоит в логарифме тем больше значение самого логарифма), когда основание <1 тогда знак меняется на противоположный, т.к. функция убывающая(к примеру $log_\frac{1}{2}2=-1,\ log_\frac{1}{2}4=-2$ , значит чем больше то что в логарифме, тем меньше будет его значение).
В нашем случае 4/3>1 поэтому знак не меняем.

$log_{\frac{4}{3}}(7x+1)>log_\frac{4}{3}(x-9)\\7x+1>x-9\\6x>-10\\x>-\frac{10}{6}\\x>-\frac{5}{3}$
x∈(-5/3;+∞)

Теперь в этот ответ нужно включить ОДЗ, чтобы ответ имел смысл при всех х(к примеру если взять из промежутка x∈(-5/3;+∞) ноль и подставить в логарифмы получим: $log_\frac{4}{3}7>log_\frac{4}{3}(-9)$ , но такого не может быть!! т.к. нету такого числа, при возведение 4/3 в которое получилось бы отрицательное число)
Запишем в виде системы:
$\left \{ {{x\in(-\frac{5}{3};+\infty)} \atop {x\in(9;+\infty)}} \right. \Rightarrow x\in(9;+\infty)$