В треугольнике ABC точка К лежит на стороне ВС так,что ВК:КС=1:2, биссектриса СМ пересекается с прямой АК в точке L,при этом АМ:МВ=1:4. Найдите площадь

+ 0 -

Glori15

28 февр. 2015 г., 18:18:35 (9 лет назад)

Заклинания для таких задач :)))

Заклинание первое. Если у треугольников общая высота к основаниям, то отношение площадей равно отношению оснований (то есть сторон, к которым эта общая высота проведена).

Пусть h1 - расстояние от вершины В до АС в каком-то треугольнике АВС, и в другом треугольнике А'C'B сторона А'C', A' и C' - лежат на АС, вершина В общая. Тогда h1 и есть общая высота, Sabc = AC*h1/2; Sba'c' = A'C'*h1/2; ну, и осталось поделить одно на другое. Важно, чтобы стороны АС и А'С' лежали на одной прямой, и треугольники АВС и А'ВС' имели общую вершину В.

Заклинание второе. Если у треугольников общий угол, а стороны этого угла в треугольниках относятся, как p1/q1 и p2/q2, то площади относятся как (p1/q1)*(p2/q2); Никакого подобия тут нет! Это довольно просто увидеть из формулы для площади S = a*b*sinC/2;

Вот теперь оружие готово, и можно стрелять.

Для начала найдем AL/AK.

Пусть ВК = x; КС = 2*х; ВС = 3*х;

Тогда АС/ВС = 1/4; АС = х*3/4;

AL/LK = AC/KC = 3/8;

AL = AK*3/(3 + 8) = AK*3/11;

AM = AB/5;

Поэтому (второе заклинание :)) Saml = Sabk*(1/5)*(3/11) = Sabk*3/55;

Sklmb = Sabk - Saml = Sabk*52/55;

Осталось произнести первое заклинание (для треугольников АВС и АВК, ясно, что площадь АВК равна трети от площади АВС).

Sabc = Sabk*3; :)))

Sabc = (55/52)*Sklmb*3 = 55*3 = 165;