Sin2(x)+sin^2(2x)=cos^2(3x)+cos^2(4x)

+ 0 -

Lenavakk

08 февр. 2014 г., 8:56:52 (10 лет назад)

cos^2(x)+cos^2(2x)=cos^2(3x)+cos^2(4x)
cos^2(x) - cos^2(3x) = cos^2(4x) - cos^2(2x)
далее разность квадратов с обоих сторон
(cos(x) - cos(3x))*(cos(x) + cos(3x)) = (cos(4x) - cos(2x))*(cos(4x) + cos(2x))
далее применяем формулы
cosA-cosB=-2sin( (A+B)/2 )*sin( (A-B)/2 )
cosA+cosB=2cos( (A+B)/2 )*cos( (A-B)/2 )
получаем,
-2sin( (x+3x)/2 )*sin( (x-3x)/2 ) * 2cos( (x+3x)/2 )*cos( (x-3x)/2 ) =
= -2sin( (4x+2x)/2 )*sin( (4x-2x)/2 ) * 2cos( (4x+2x)/2 )*cos( (4x-2x)/2 )
упрощаем слегка, 2-йки сокращаем, имеяя ввиду, что sin(-x)=-sin(x), а cos(-x)=cos(x)
sin(2x)*sin(x)*cos(2x)*cos(x)=-sin(3x)*sin(x)*cos(3x)*cos(x)
сокращая на sin(x) и cos(x) имеем ввиду, что это также является решением уравнения, т. е. уравнение распадается на три уравнения
1) sin(x)=0, тут x=Пk, где k-целое число
2) cos(x)=0, тут x=П/2*k, где k-целое число
3) после сокращения на sinx и cosx
sin(2x)cos(2x)=-sin(3x)cos(3x)
здесь применяем формулу sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), получаем
1/2*sin(4x)=-1/2*sin(6x)
sin(4x)+sin(6x)=0
далее применяем формулу sinA+sinB=2sin( (A+B)/2 )*cos( (A-B)/2 ), получаем
2sin( (4x+6x)/2 )*cos( (4x-6x)/2 ) = 0
на 2 сокращаем, получаем
sin(5x)*cos(x) = 0
cos(x)=0 у нас уже имелось в пункте 2)
остается
sin(5x)=0 => 5x=Пk => x=П/5*k, k - целое
Объединяем решения:
1)x=Пk, где k-целое число
2)x=П/2*k, где k-целое число
3)x=П/5*k, k - целое
третье включает в себя первое, можно на тригонометрическом круге посмотреть, если так не понятно, поэтому остается
2)x=П/2*k, где k-целое число
3)x=П/5*k, k - целое число
Дальше мудохаться не стоит,
Ответ:
x=П/2*k, где k-целое число и x=П/5*k,где k - целое число

p.s. П-это пи=3.1415 если что (число Эйлера вроде как)