Доказать,что cos2п/7+cos4п/7+cos6п/7=-1/2

+ 0 -

Bellatrissa21

24 нояб. 2013 г., 14:15:17 (10 лет назад)

Ответ: −½

A ≡ cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = ?

Рассмотрим расширенную сумму 
B ≡ 1 + cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) + cos(8π/7) + cos(10π/7) + cos(12π/7)
С учётом тождества cos(2π−φ) = cos(φ) получаем:
cos(8π/7) = cos(6π/7),
cos(10π/7) = cos(4π/7),
cos(12π/7) = cos(2π/7).

Таким образом, B = 2A + 1

Запишем B с использованием тригонометрической записи комплексных чисел:
B = Re (1 + z + z² + z³ + z^4 + z^5 + z^6),
где z = e^(2iπ/7), Re(z) — действительная часть z.
В скобках стоит сумма геометрической прогрессии:
B = Re ((1−z^7)/(1−z))
Но z^7 = e^(2iπ) = 1; таким образом, 1−z^7 = 0, и
B = 0

Итак, 2A + 1 = 0 ⇒ A=−½