cos2x+3cosx-1=0 sin в 4 степени х+cos в 4 степени х+cos 2х=0,5 cos(1.5Пи+2х)-cos х=0

+ 0 -

Wereja

03 июня 2014 г., 1:39:25 (9 лет назад)

1. cos2x + 3cosx - 1 = 0

Есть такая формула: cos2x = 2cos^2(x) - 1 Подставляем вместо cos2x

2cos^2(x) + 3cosx - 1 = 0

cosx обозн. t принадлежит [-1;1]

2t^2 + 3t - 1 = 0

D = 9 - 8 = 1

t = (-3+-1)/4 = -1 или -1/2

Подставляем вместо t cosx

cosx = -1   x = Пи + 2пи*k, k принадлежит Z

cosx = -1/2  x = +-2пи/3 + 2пи*k, k принадлежит Z

Ответ: +-2пи/3 + 2пи*k; Пи + 2пи*k, k принадлежит Z

2. sin^4(x) + cos^4(x) + cos2x = 0,5

Попробуем найти sin^4(x) + cos^4(x) из основного тригонометрического тождества:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Возведем в квадрат:

sin^4(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x) = 1

sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x)

к 2sin^2(x)cos^2(x) домножим 2 и поделим на два, получится 4sin^2(x)cos^2(x)/2 = sin^2(2x)/2

Значит: sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - sin^2(2x)/2

Подставляем в началное уравнение:

1 - sin^2(2x)/2 + cos2x = 0,5

Домножим на 2

2 - sin^2(2x) + 2cos2x = 1

sin^2(2x) = 1-cos^2(2x) (опять же, основное тригонометрическое тождество)

Подставляем:

-(1-cos^2(2x)) + 2cos2x + 2 - 1 = 0

cos^2(2x) + 2cos2x=0

cos2x(cos2x + 2) = 0

cos2x = 0  2x = пи/2 + пи*k   x = пи/4 + пи*k/2; k принадлежит Z

cos2x +2 = 0 cos2x = -2 не уд. (cos2x принадлежит [-1;1]

Ответ: пи/4 + пи*k/2; k принадлежит Z

3. cos(3пи/2 + 2x) - cosx = 0

Воспользуемся формулами приведения

cos(3пи/2 + 2x) = sin2x - подставляем в основное уравнение

sin2x - cosx = 0

2sinxcosx - cosx = 0

cosx(2sinx - 1) = 0

cosx = 0   x = пи/2 + пи*k, k принадлежит Z

2sinx - 1 = 0  sinx = 1/2  x = (-1)^n *(пи/6) + пи*k, k принадлежит Z

Ответ: пи/2 + пи*k, (-1)^n *(пи/6) + пи*k, k принадлежит Z