Решить уравнение 2cos^3x+ cos(x-Пи)=0 Найти все корни принадлежащие (-пи/2;пи/2] Решение

+ 0 -

050408

26 июня 2013 г., 13:05:58 (10 лет назад)

Нам не очень нравится второй аргумент(x - π), поэтому применим соответствующую формулу приведения. Но сначала домножим аргумент на -1:

2cos³x + cos(π - x) = 0

Применяя формулы приведения ко второму аргументу, получаем более простое уравнение:

2cos³x - cos x = 0

Данное уравнение решается методом разложения на множители. Вынеся за скобки cos x:

cos x(2cos²x - 1) = 0

cos x = 0                               или                                      2cos²x = 1

x = π/2 + πn, n∈Z                                                              cos²x = 1/2

                                                                                              (1 + cos 2x) / 2 = 1/2

                                                                                               1 + cos 2x = 1

                                                                                              cos 2x = 0

                                                                                               2x = π/2 + πk,k∈Z

                                                                                                x = π/4 + πk/2,k∈Z

Перед тем, как начать отбирать корни, сначала попробуем определить, какое решение является более общим, то есть, какое решение вмещает в себя решения другого уравнения. Для этого приравняем обе формулы и выразим одну переменную через другую:

π/2 + πn = π/4 + πk/2

Выразим предположим n через k, так как это сделать намного проще:

πn = π/4 - π/2 + πk/2

n = 1/4 - 1/2 + k/2

n = -1/4 + k/2 = k/2 - 1/4

Проанализировав это равенство приходим к выводу, что k > n. Значит, второе решение включает в себя также первое решение, а потому, решение π/4 + πk/2 и является более общим. По этой формуле и будем производить отбор корней.

 Впихнём эту формулу в заданный интервал и решим двойное неравенство относительно k.

                -π/2 < π/4 + πk/2 ≤ π/2

                   -3π/4  < πk/2 ≤ π/4

Разделим всё неравенство на π/2, получаем:

                             -1.5  <  k ≤ 1

Значит, при k= -1; 0; 1 получатся корни, принадлежащие данному промежутку. Теперь посдтавим просто k в нашу формулу и найдём эти корни:

k = 0   x = π/4

k = 1  x = π/4 + π/2 = 3π/4

k = -1  x = π/4 - π/2 = -π/4

Это корни, принадлежащие данному промежутку. Здаачу мы решили.