Доказать неравенство.

1-4 класс

Прикрепленные изображения

Muradov345 16 нояб. 2014 г., 23:09:41 (9 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Sergey0372

17 нояб. 2014 г., 1:44:55 (9 лет назад)

$|\sin x\cdot \sin 2x| \leq \frac{4}{9} \sqrt{3}$
Доказательство:
$\sin x\cdot \sin 2x=2\sin^2x\cos x=2(1-\cos^2x)\cos x=2\cosx -2\cos^3x$ , притом $-1 \leq \cos x \leq 1$ . Поэтому достаточно найти наибольшее и наименьшее значение функции. $f(x)=2\cos x-2\cos^3x$
Пусть $\cos x = t$
$f(t)=2t-2t^3$ на отрезке $[-1;1]$ . Имеем
$f'(t)=2-6t^2=6( \frac{1}{3} -t^2), f'(t)=0$
$\frac{1}{3} =x^2 \\ x=\pm \frac{1}{ \sqrt{3} }$
Вычислим значения функции в точке t
$f(\frac{1}{ \sqrt{3} })= \frac{4 \sqrt{3} }{9} ;\,\,\,\,\,f(-\frac{1}{ \sqrt{3} })=- \frac{4 \sqrt{3} }{9};\,\,\,\,f(-1)=0;\,\,\,\,\,f(1)=0$

Поэтому, $\max_{[-1;1]}f(t)= \frac{4 \sqrt{3} }{9} ,\,\,\,\,\,\min_{[-1;1]}f(t)=-\frac{4 \sqrt{3} }{9}$

Что и требовалось доказать