Доведіть, що тричлен y=x2+5x+16 при будь якому цілому х не ділиться на 169

+ 0 -

махнатик007

08 марта 2017 г., 13:18:56 (7 лет назад)

Пусть существует какое-нибудь целое при котором выражение делится на 169,тогда оно представимо в виде 

где n-натуральное число(натуральное потому,что y(x) принимает только положительные значения,так как дискриминант выражения отрицательный и любая подстановка в выражение определяет его знак)

Тогда решением уравнения

будут корни 

По условию задачи целое число,значит  не может быть иррациональным числом

Рассмотрим подкоренное выражение: 25-64+676n=-39+676n=13(52n-3)

Для того,чтобы избавиться от иррациональности выражение 52n-3 должно быть представимо в виде:

где k любое натуральное число,тогда под корнем получится выражение вида:

и раскрыв корень получим натуральное число 

Решим уравнение:

Из последней записи очевидно,что число 4n равно сумме натурального числа и рациональной дроби,то есть рациональному числу,а это противоречит условию,что  

n-натуральное.

Исходя из этого противоречия следует,что исходное выражение не делится на 169 ни при каких целых x.