При каком наибольшем значении параметра а уравнение |x^2-8|x|+12|=a будет иметь 6 корней?

+ 0 -

Fisadolganova

11 нояб. 2014 г., 16:25:53 (9 лет назад)

Понятно, что a>=0.

Левая часть переписывается как |x|^2 - 8|x| + 12, поэтому если x=b корень уравнения, то и x=-b - корень.

Так как уравнение должно иметь 6 корней, то возможен только такой случай: уравнение имеет ровно 3 положительных корня.

Таким образом, уравнение |x^2-8x+12| = a должно иметь ровно 3 положительных корня. Но это уравнение можно записать как совокупность двух уравнений:

[ x^2-8x+(12-a)=0, x^2-8x+(12+a)=0 ]

Заметим, что по теореме Виета если второе уравнение имеет корни, то все они положительны (т.к. сумма корней 8, а произведение положительно и равно 12+a).

1 случай. Второе уравнение имеет 1 корень, а первое уравнение - 2 положительных корня.

Несложно убедиться, что первое условие выполняется только при a=4. Подставим в первое уравнение а=4:

x^2-8x+8=0

D/4=16-8=8>0

уравнение имеет 2 корня, а из теоремы Виета следует, что эти корни положительны.

Итак, при a=4 уравнение имеет нужное число корней.

2 случай. Второе уравнение имеет 2 корня, а первое имеет корни разных знаков.

Для того, чтобы узнать, когда выполняется первое условие, вычислим дискриминант:

D/4=16-12-a=4-a>0, откуда a<4.

Для того, чтобы выполнялось второе условие, нужно чтобы 1) корни были и 2) ихз произведение было отрицательно.

D/4=16-12+a=4+a>0 - верно для всех а>0

12-a<0, откуда a>12.

Очевидно, такой случай невозможен.

3 случай. Второе уравнение имеет 2 корня, а первое - один корень, который положителен.

Понятно, что у первого уравнения 1 корень будет только при a=-4, но a>0. Противоречие.

Итак, уравнение имеет 6 корней только при a=4, это число и идет в ответ.

P.S. Традиционный способ решения таких задач - графический. Для того, чтобы понять, сколько корней имеет уравнение f(x)=a, нужно всего лишь построить график y=f(x), а затем смотреть, при каких a прмая y=a пересекает график в нужном количестве точек. График |x^2-8|x|+12|=y см. во вложении. Как правило, такой способ приводит к ответу быстрее, чем аналитическое решение.

+ 0 -

Sobolil

11 нояб. 2014 г., 19:11:39 (9 лет назад)

Сначала нужно построить график y=|x^2-8|x|+12| и потом посмотреть где прямая y=a будет пересекать график в 6 точках. В нашем случае это прмая y=4 , т е a=4