Докажите что 75^2n+126^n делится на 19 при любом натуральном n

5-9 класс

Sisckovak 14 июня 2014 г., 22:44:27 (9 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Dem777g

15 июня 2014 г., 0:57:04 (9 лет назад)

Проверяем выполнение условия при n=1
$1)7\cdot 5 ^{2}+12\cdot 6=247, \\ 247:19=13$
выполняется
Предполагаем, что условие выполняется для n =k, т .е что
$2)7\cdot 5 ^{2k}+12\cdot 6 ^{k}=A$ кратно 19

Докажем опираясь на это предположение, что и для следующего n=k+1 условие выполняется
$3)7\cdot 5 ^{2k+2}+12\cdot 6 ^{k+1}$ кратно 19

Доказательство
Рассматриваем выражение в п. 3) и пытаемся выделить в нем выражение п.2) A:
$7\cdot
 5 ^{2k+2}+12\cdot 6 ^{k+1}=7\cdot 5 ^{2k}\cdot 5 ^{2} +12\cdot 6 
^{k}\cdot 6= \\=7\cdot 5 ^{2k}\cdot 5 ^{2} +12\cdot 5 ^{2}\cdot 6 ^{k}- 
 12\cdot 5 ^{2}\cdot 6 ^{k}+12\cdot 6 ^{k}\cdot 6 = \\ =5 ^{2} (7\cdot 5
 ^{2k} +12\cdot 6 ^{k})- 12\cdot 6 ^{k}(5 ^{2} -6)=25\cdot A - 12\cdot 6
 ^{k}\cdot 19$
A кратно 19, уменьшаемое кратно, вычитаемое кратно 19, значит и вся разность кратна 19

На основании принципа математической индукции условие верно для любого натурального n