Заданы функции на отрезке /0;1/

5-9 класс

Значение m=7;n=29

Прикрепленные изображения

Alex280499 02 дек. 2014 г., 6:38:28 (9 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -

Хороший вопрос

0 Жалоба

Ответить

+ 0 -

Temnyi

02 дек. 2014 г., 9:35:54 (9 лет назад)

$f(x)=29x+7, \\ g(x)=7x+29.$
$1) \int\limits^1_0 {(f(x)-g(x))} \, dx= \int\limits^1_0 {((29x+7)-(7x+29))} \, dx= \\ =\int\limits^1_0 {(29x+7-7x-29)} \, dx=\int\limits^1_0 {(22x-22)} \, dx=(22 \frac{ x^{2} }{2} -22x)| _{0} ^{1}= \\ 11-22<0$
То, что значение интеграла будет <0, можно было обнаружить и не вычисляя первообразную.
График подынтегральной функции у=22х-22 - прямая, пересекающая ось ох в точке х=1
и на [0;1] прямая расположена ниже оси ох.
Поэтому по свойству определенного интеграла, если функция f(x) ≥ 0 на отрезке [a; b] и a<b, то
$\int\limits^a_b {f(x)} \, dx \geq 0$

$2) (f(x)-g(x))`=(22x-22)`=22, \\ \int\limits^1_0 {(f(x)-g(x))`(2f(x)-g(x))} \, dx = \int\limits^1_0 {22\cdot(2(29x+7)-(7x+29))} \, dx= \\ =\int\limits^1_0 {22\cdot(58x+14-7x-29)} \, dx= \int\limits^1_0 {22\cdot(51x-15)} \, dx>0$

Так как графиком подынтегральной функции у=51х-15 является прямая, пересекающая ось ох в точке х=15/51=5/17
на [0; 5/17] прямая расположена ниже оси ох и значение интеграла отрицательно, а на [5/17;1] прямая расположена выше оси ох и значение интеграла положительно.
Но та часть, которая расположена на [5/17;1] по величине больше, см рисунок
Красным цветом положительное значение интеграла, синим отрицательное. Красного больше

$3)\int\limits^1_0 {(f(x)-g(x))(5f(x)-g(x)) ^{2} } \, dx = \\ =\int\limits^1_0 {(29x+7-7x-29)\cdot(5(29x+7)-(7x+29))} \, dx= \\ =\int\limits^1_0 {(22x-22)\cdot(145x+35-7x-29))} \, dx= \\ =\int\limits^1_0 {(22x-22)\cdot(138x+6)} \, dx<0$
Графиком подынтегральной функции у=(22х-22)(138х+6) является парабола, пересекающая ось ох в точках
х=-6/138 и х=1
На [0;1] расположена ниже оси ох.
Поэтому по свойству определенного интеграла, если функция f(x) ≤0 на отрезке [a; b] и a<b, то
$\int\limits^a_b {f(x)} \, dx \leq 0$