(Тригонометрия) Решить4 примера: (Учитывая ОДЗ)

+ 0 -

152000vika

13 дек. 2014 г., 4:29:42 (9 лет назад)

1)  {cos²2x-sin²x=0 

     {sin3x -1≠0   - это ОДЗ(ООФ)    ⇒   sin3x≠1, 3x≠π/2+πn, x≠π/6+πn/3, n∈Z

(cos²x-sin²x)²-sin²x=0

cos⁴x-2sin²xcos²x+sin⁴x-sin²x=0

Рассмотримвыражение  1=1²=(sin²x+cos²x)²= sin⁴x+2sin²xcos²x+cos⁴x, тогда

                                                 sin⁴x+cos⁴x=1-2sin²xcos²x     

Теперь заменим сумму 4-ых степеней в уравнении:

1-4sin²xcos²x-sin²x=0, Заменим 1-sin²x=cos²x из тригон-ой единицы

cos²x-4sin²xcos²x=0, cos²x(1-4sin²x)=0  ⇒  

a)cos²x=0, cosx=0, x=π/2+πk, k∈Z

b)1-4sin²x=0.  Формула: sin²x=(1-cos2x)/2

     1-2(1-cos2x)=0, 2cos2x=1, cos2x=1/2, 2x=±π/3+πm, x=±π/6+πm/2, m∈Z

Ответ:x= x=±π/6+πm/2 при  m= ±2, ±4,...(четные m) [ или x=±π/6+πm)

3) √cosx*sinx=0  ОДЗ:cosx≥0 ⇒ -π/2+2πn≤x≤π/2+2πn, n∈Z

a) cosx=0, x=π/2+πk, k∈Z

b) sinx=0, x=πm, m∈Z

Ответ: x=π/2+πk, k∈Z,  x=2πm,m∈Z 

4)√sinx(4-5cosx-2sin²x)=0     ОДЗ:sinx≥0,  2πn≤x≤π+2πn, n∈Z

 a) sinx=0, x=πk, k∈Z

b) 4-5cosx-2sin²x=0,  sin²x=1-cos²x

    4-5cosx-2+2cos²x=0, 2cos²x-5cosx+2=0, Пусть t=cosx, тогда

  2t²-5t+2=0, D=25-16=9, t₁=(5-3)/4=1/2,  t₂=2

cosx=1/2, x=±π/3+2πm, m∈Z

cosx≠2, т.к. -1≤cosx≤1

Ответ: x=+π/3+2πm, m∈Z  (x= -π/3+2πm не входит в ОДЗ), х=πк, к∈Z