Из условия следует, что многочлен имеет ненулевую степень.

Докажем, что данный многочлен P(x) имеет чётную степень, а его график имеет вертикальную ось симметрии.
Не умаляя общности, мы можем считать старший коэффициент многочлена P(x) положительным
(иначе многочлен можно заменить на – P(x)).
Если P(x) имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по абсолютной величине x он возрастает, и, следовательно, может принимать более чем в одной целой точке лишь конечное число значений.
Поэтому степень P(x) чётна.
Тогда при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x — убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке, он принимает ровно дважды.
Упорядочим эти значения: a1 < a2 < … — и обозначим xk больший, а yk — меньший прообраз ak.
Таким образом, P(xk) = P(yk) = ak.
Мы докажем, что при достаточно больших k сумма xk + yk постоянна.
Для этого рассмотрим два старших коэффициента P(x): P(x) = axn + bxn – 1 + …
Тогда

Danik0204 02 дек. 2013 г., 20:31:33 (10 лет назад)

Рейтинг

+ 0 -